Question

已知在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（3，0）、C（0，4），點D的坐標為（-5，0），點P是直線AC上的一動點，直線DP與軸交于點M，問：

（1）當點P運動到何位置時，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時直線DP的函數解析式；
（2）當點P沿直線AC移動時，是否存在使△DOM與△ABC相似的點M，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動圓P，若設動圓P的直徑長為AC，過點D作動圓P的兩條切線，切點分別為點E、F，請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由。
注：第（3）問請用備用圖解答

Answer 1

解：（1）連結BO與AC交于點H，則當點P運動到點H時， 直線DP平分矩形OABC的面積，理由如下： ∵矩形是中心對稱圖形，且點H為矩形的對稱中心， 又據經過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積， 因為直線DP過矩形OABC的對稱中心點H， 所以直線DP平分矩形OABC的面積， 由已知可得此時點的坐標為， 設直線的函數解析式為y=kx+b， 則有，解得， 所以，直線DP的函數解析式為：； （2）存在點使得與相似， 如圖，不妨設直線DP與y軸的正半軸交于點M（0，）， 因為∠DOM=∠ABC，若△DOM與△ABC相似， 則有或， 當時，即，解得， 所以點M1（0，）滿足條件， 當時，即，解得， 所以點滿足條件， 由對稱性知，點也滿足條件， 綜上所述，滿足使與相似的點有3個， 分別為、； （3）如圖，過D作DP⊥AC于點P，以P為圓心，半徑長為畫圓， 過點D分別作的切線DE、DF，點E、F是切點， 除P點外在直線AC上任取一點P1，半徑長為畫圓， 過點D分別作的切線DE1、DF1，點E1、F1是切點， 在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD， ∴△DPE≌△DPF， ∴S四邊形DEPF=2S△DPE=2×， ∴當DE取最小值時，S四邊形DEPF的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由點P1的任意性知：DE是點與切點所連線段長的最小值， 在△ADP與△AOC中，∠DPA=∠AOC，∠DAP=∠CAO， ∴△ADP∽△AOC ∴，即， ∴， ∴， ∴S四邊形DEPF=，即S=。