Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標(biāo)．

②在P點右側(cè)的反比例函數(shù)圖像是否存在上點M，使△MBP的面積等于菱形ABCP面積．若存在，試求出滿足條件的M點的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形為正方形，理由見解析；（2）A（0，），B（1，0），C（3，0）．M（）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AP、PK是圓的半徑可得出AP=PK，再由軸，軸，可得出結(jié)論；

（2）①連接PB，設(shè)點P（x，），過點P作與G，則半徑，有菱形的性質(zhì)得，可知等邊三角形，在中，，PB=PA=x，，利用sin，列方程求x即可．

②先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出P點的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，設(shè)出M點的坐標(biāo)，根據(jù)的面積等于菱形ABCP的面積得出m的值，進而可得出點M的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）四邊形OKPA是正方形．

∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴四邊形OKPA是矩形．

∵AP=KP，

∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為，

過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC（半徑）．

∴為等邊三角形．

在中，，，．

，即．

解得：（負值舍去）．

∴，．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3

∴可求得：A（0，），B（1，0） C（3，0）．

②利用B（1，0），P（2， ）易得BP: y= x-

過M作ME∥x軸，交線段BP于點E

設(shè)M（m，），則E（+1 ， ）

ME=m--1

由MBP的面積=菱形ABCP的面積得：（m--1）=

化簡得，解得（舍）

所以M（，）