Question

【題目】如圖1，兩個(gè)等腰，有公共頂點(diǎn)，，與在同一直線(xiàn)上，連接，是的中點(diǎn)，連接、，延長(zhǎng)，交于．

（1）求證：；

（2）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，是的中點(diǎn)，連接、、，延長(zhǎng)交于，連接，如圖2，求證：．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）如圖，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)G，證明BM為△AGF的中位線(xiàn)即可；

（2）延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，再說(shuō)明BM為△A GF的中位線(xiàn)，得到BM=DF；同理可得ME=AG；然后再證明△ACG≌△DCF（SAS），通過(guò)全等三角形的性質(zhì)可得DF=AG,進(jìn)而得到BM=ME．

解：（1）如圖：延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)G，

由題意可得：△ABC與△ BCG均為等腰直角三角形

∴AB=BC=BG

∴點(diǎn)B為線(xiàn)段AG的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)M為線(xiàn)段AF的中點(diǎn)，

∴BM為△AGF的中位線(xiàn)，

∴ BM//CF．

(2)如圖，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，

∴BM=DF

同理：ME=AG

在△ACG與△DCF中，

AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°，CG=CF

.∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．