如圖,已知在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D,與邊AC交于點E,過點D作DF⊥AC于F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若DE=
5
2
,AB=
5
2
,求AE的長.
(1)證明:連接AD,OD;
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC;
∵AB=AC,
∴BD=DC.
∵OA=OB,
∴ODAC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD.
∴∠ODF=∠DFA=90°,
∴DF為⊙O的切線.

(2)連接BE交OD于G;
∵AC=AB,AD⊥BC,ED=BD,
∴∠EAD=∠BAD.
ED
=
BD

∴ED=BD,OE=OB.
∴OD垂直平分EB.
∴EG=BG.
又AO=BO,
∴OG=
1
2
AE.
在Rt△DGB和Rt△OGB中,
BD2-DG2=BO2-OG2
∴(
5
2
2-(
5
4
-OG)2=BO2-OG2
解得:OG=
3
4

∴AE=2OG=
3
2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,⊙A與y軸交于C、D兩點,圓心A的坐標為(1,0),⊙A的半徑為
5
,過點C作⊙A的切線交x軸于點B(-4,0).

(1)求切線BC的解析式;
(2)若點P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點,過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G,且∠CGP=120°,求點G的坐標;
(3)向左移動⊙A(圓心A始終保持在x軸上),與直線BC交于E、F,在移動過程中是否存在點A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出點A的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點,CH⊥AB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH的中點,連接AE并延長交BD于F,直線CF交直線AB于點G.
(1)求證:點F是BD的中點;
(2)求證:CG是⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,直線PA交⊙O于A、E兩點,PA的垂線DC切⊙O于點C,過A點作⊙O的直徑AB.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若DC=4,DA=2,求⊙O的直徑.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知AB是半圓O的直徑,D是AB延長線上的一點,AE⊥DC,交DC的延長線于點E,交半圓O于點F,且C為
BF
的中點.
(1)求證:DE是半圓O的切線;
(2)若∠D=30°,求證:∠CAE=∠BCD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分線BD交AC于點D,點E是線段AB上的一點,以BE為直徑的圓O過點D.
(1)求證:AC是圓O的切線;
(2)求AE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,直線PA交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過點C作CD⊥PA,垂足為點D.
(1)求證:CD與⊙O相切;
(2)若tan∠ACD=
1
2
,⊙O的直徑為10,求AB的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知⊙O中OA、OB是兩條互相垂直的半徑,P為OA延長線上任一點,BP與⊙O相交于Q,過Q作⊙O的切線QR與OP相交于R.
求證:RP=RQ.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,⊙O的直徑BC=4,過點C作⊙O的切線m,D是直線m上一點,且DC=2,A是線段BO上一動點,連接AD交⊙O于G,過點A作AD的垂線交直線m于點F,交⊙O于點H,連接GH交BC于E.
(1)當點A是BO的中點時,求AF的長;
(2)若∠AGH=∠AFD,求△AGH的面積.

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同步練習(xí)冊答案