Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2bx+c
（1）若拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），求b，c的值；
（2）若b+c=0，是否存在實數(shù)x，使得相應的y的值為1，請說明理由；
（3）若c=b+2且拋物線在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=x2﹣2bx+c

∴a=1，

∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），

∴y=（x﹣2）2﹣3，

∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，

∴b=2，c=1；

（2）解：由y=1得 x2﹣2bx+c=1，

∴x2﹣2bx+c﹣1=0

∵△=4b2+4b+4=（2b+1）2+3＞0，

則存在兩個實數(shù)，使得相應的y=1；

（3）解：由c=b+2，則拋物線可化為y=x2﹣2bx+b+2，其對稱軸為x=b，

①當x=b≤﹣2時，則有拋物線在x=﹣2時取最小值為﹣3，此時

﹣3=（﹣2）2﹣2×（﹣2）b+b+2，解得b=﹣ ，不合題意；

②當x=b≥2時，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時

﹣3=22﹣2×2b+b+2，解得b=3，

③當﹣2＜b＜2時，則 =﹣3，化簡得：b2﹣b﹣5=0，解得：

b1= （不合題意，舍去），b2= ．

綜上：b=3或 ．

【解析】（1）根據(jù)題意得到拋物線為y=（x﹣2）2﹣3，整理成一般式即可求得b，c的值；（2）令y=1，判斷所得方程的判別式大于0即可求解；（3）求得函數(shù)的對稱軸是x=b，然后分成b≤﹣2，﹣2＜b＜2和b≥2三種情況進行討論，然后根據(jù)最小值是﹣3，即可解方程求解．
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．