Question

如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任一點（點G與B、C不重合），AE⊥DG，垂足為E，CF⊥DG交DG于點F．
（1）請你猜想線段AE、CF和EF間的關(guān)系如何，只寫結(jié)論，不寫過程．
（2）當(dāng)點G在CB延長線上時，請猜想AE、CF和EF間的關(guān)系如何，并證明你的想法．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再結(jié)合題中所給的有關(guān)角的等量關(guān)系可證明△AED≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得AE=DF，DE=CF，由于DF+EF=DE，即可證得結(jié)論；
（2）利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再結(jié)合題中所給的有關(guān)角的等量關(guān)系可證明△AED≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得AE=DF，DE=CF，由于DF+EF=DE，即可證得結(jié)論．

解答：（1）答：AE+EF=CF．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥GD，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC．
在△AED與△DFC中

∠AED=∠DFC=90° ∠EAD=∠FDC AD=DC

∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴AE=DF，DE=CF
∵DF+EF=DE，
∴AE+EF=CF；
（2）答：AE+EF=CF；
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥GD，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC．
在△AED與△DFC中

∠AED=∠DFC=90° ∠EAD=∠FDC AD=DC

∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴AE=DF，DE=CF
∵DF+EF=DE，
∴AE+EF=CF．

點評：考查三角形全等的判定及正方形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．