Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4）、B（2，4），它的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為

14

3

，點(diǎn)P是第一象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)且PA=PO，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)分別交射線(xiàn)AB、x正半軸于C、D．設(shè)AC=m，OD=n．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接OC交AP于點(diǎn)E，如果以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△ODP相似，求m的值．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)以及對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，P的縱坐標(biāo)是A的縱坐標(biāo)的一半，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求得P的坐標(biāo)；
（3）分△ACE∽△ODP和△ACE∽△OPD，兩種情況，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得m的值．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+

14

3

，
解出a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

(x-1)2+

14

3

；

（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），
由梯形中位線(xiàn)定理得，AC+OD=3×2=6，m+n=6，
∴n=6-m（0≤m≤6）；

（3）方法一：①當(dāng)△ACE∽△ODP時(shí)（如圖1），∠ACO=∠ODP，
∵AB∥x軸，∴∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP，OC=CD，又CF⊥OD，∴AC=OF=

1

2

OD，
∴m=

1

2

（6-m）解得：m=2
②當(dāng)△ACE∽△OPD時(shí)（如圖2），∠ACO=∠OPD，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD²=DP•DC，
即OD²=

1

2

CD²，（6-m）²=

1

2

（

42+(2m-6)2

）²，解得：m=

10

方法二：得出AE=

2 13 m

m+6

1當(dāng)△ACE∽△ODP時(shí)，可求出m=2
②當(dāng)△ACE∽△OPD時(shí)，可求出m=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（3）題中，要根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的不同分類(lèi)討論，不要漏解．