Question

如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)（都與菱形的頂點(diǎn)不重合），連接EF、BE、BF．
（1）若∠A=60°，且AE+CF=AB，判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，求△BEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明BE=BF，∠EBF的度數(shù)，可判斷△BEF是等邊三角形．
（2）當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最小，此時(shí)，S_△BEF最�。�求出此時(shí)的邊EF長(zhǎng)，及其對(duì)應(yīng)高BM的長(zhǎng)，按照三角形的面積公式即可求出．
解答：解：（1）答：△BEF的形狀為等邊三角形．（1分）
證明：如圖，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB∥DC，AB=BC=CD=DA．
∴∠ADC=120°．
∴∠1=∠2=60°．
∴∠ABD=∠1=∠A=60°．
∴AB=BD，∠A=∠2．
∵AE+CF=AB，DF+CF=CD，
∴AE=DF．
∴△ABE≌△DBF．
∴BE=BF，∠3=∠4．（2分）
又∵∠3+∠5=60°，
∴∠4+∠5=60°．（3分）
∴△BEF為等邊三角形．

（2）如圖：
當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最小，此時(shí)，S_△BEF最小．
設(shè)此時(shí)EF與BD交于點(diǎn)M，
∴∠ABE=∠DBE=30°．
∵∠BEM=60°，
∴∠BME=90°．
在Rt△ABE中，AB=a，
∴．
∴．（4分）
在Rt△BEM中，∠BEM=60°，
∴．（5分）
∴．（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，及全等三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，注意這些知識(shí)的綜合應(yīng)用．