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在平面直角坐標系中,放置一個如圖所示的直角三角形紙片AOB,已知OA=2,∠AOB=30度.D、E兩點同時從原點O出發(fā),D點以每秒
3
個單位長度的速度沿x軸正方向運動,E點以每秒1個單位精英家教網長度的速度沿y軸正方向運動,設D、E兩點的運動時間為t秒.
(1)點A的坐標為
 
,點B的坐標為
 
;
(2)在點D、E的運動過程中,直線DE與直線OA垂直嗎?請說明理由;
(3)當時間t在什么范圍時,直線DE與線段OA有公共點?
(4)將直角三角形紙片AOB在直線DE下方的部分沿DE向上折疊,設折疊后重疊部分面積為S,請寫出S與t的函數關系式,并求出S的最大值.
分析:(1)由題意可知:OA=2,∠AOB=30°,則根據直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半,則AB=1,根據勾股定理可以求得OB=
3
;所以可以求得點A與點B的坐標.
(2)如果連接DE,那么根據D、E兩點的速度可得出OD:OE=
3
,因此直角三角形ODE中,∠OED=60°,而已知了∠AOB=30°,即可得出OA⊥DE.
(3)本題只需考查直線DE過O,A兩點時,t的取值即可.
(4)本題要分三種情況進行討論.
①當0≤t≤
2
3
3
時,重合部分是三角形.
②當
2
3
3
<t≤
3
時,重合部分是四邊形.
③當
3
<t≤
4
3
3
時,重合部分是三角形.
可據此來求出S,t的關系式,以及S的最大取值.
解答:精英家教網解:(1)由題意可知:OA=2,∠AOB=30°,則根據直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半,則AB=1,根據勾股定理可以求得OB=
3
;則點A的坐標為(1,
3
),點B的坐標為(0,
3
);

(2)垂直.
理由:連接DE,直角三角形ODE中,tan∠OED=
OD
OE
=
3
,
∴∠OED=60°.
∵∠BOA=30°,
∴OA⊥ED.

(3)因為DE總是垂直于OA運動,因此可以看做直線DE沿OA方向進行運動.因此兩者有公共點的取值范圍就是O?A之間.
當DE過O點時,t=0.
當DE過A點時,直角三角形OAD中,OA=2,∠ODA=30°,因此OD=4,t=
4
3
3

因此t的取值范圍是0≤t≤
4
3
3


(4)當0≤t≤
2
3
3
時,S=
3
8
t2;Smax=
3
6
;
2
3
3
<t≤
3
時,S=
3
2
-
3
8
t2-
3
2
3
-t)2=-
5
3
8
(t-
4
3
5
2+
3
5
,Smax=
3
5
;
3
<t≤
4
3
3
時,S=
3
2
(2-
3
2
t)2,S無最大值;
綜上所述S的最大值為
3
5
點評:本題中對于點的運動要分類進行討論.分類討論是初中數學重要的思想方法,難點是一要想到用討論的方法進行求解.二是討論界限要確定不要漏解和重復.
練習冊系列答案
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2
2

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(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點坐標分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點M的對應點M′的坐標為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數倍)
,k=
2

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