Question

8．如圖，△ABC中，BC=10cm，BC邊上的高AD=8cm，E、F分別為AC、AB上的點，且EF∥BC，以EF為邊向下作矩形EFGH，且滿足EF=2FG，設EF的長為x（cm），矩形EFGH與△ABC重疊部分的面積為y（cm²）．
（1）當GH與BC重合時，求x的值；
（2）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知EF=x、FG=PD=$\frac{1}{2}$x、AP=AD-PD=8-$\frac{1}{2}$x，證△AFE∽△ABC知$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AP}{AD}$，據(jù)此可得x的值；
（2）當0≤x＜$\frac{80}{13}$時，由y=EF•FG可得；當$\frac{80}{13}$≤x≤10時，由△AFE∽△ABC得$\frac{AP}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，即可知AP=$\frac{4}{5}$x、FQ=PD=AD-AP=8-$\frac{4}{5}$x，根據(jù)y=EF•FQ可得．

解答 解：（1）如圖1，

由題意知，當EF=xcm時，F(xiàn)G=PD=$\frac{1}{2}$xcm，
則AP=AD-PD=8-$\frac{1}{2}$x，
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AP}{AD}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{8-\frac{1}{2}x}{8}$，
解得：x=$\frac{80}{13}$；

（2）當0≤x＜$\frac{80}{13}$時，y=x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²；
當$\frac{80}{13}$≤x≤10時，如圖2，記FG與BC交于點Q，

由△AFE∽△ABC得$\frac{AP}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{AP}{8}$=$\frac{x}{10}$，
∴AP=$\frac{4}{5}$x，
則FQ=PD=AD-AP=8-$\frac{4}{5}$x，
∴y=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0≤x＜\frac{80}{13}）}\\{-\frac{4}{5}{x}^{2}+8x}&{（\frac{80}{13}≤x≤10）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質得出所需線段的長是解題的關鍵．