Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以CD為直徑，在矩形ABCD內(nèi)作半圓，點(diǎn)M為圓心．設(shè)過A、B兩點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，頂點(diǎn)為點(diǎn)N．
（1）求過A、C兩點(diǎn)直線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)N在半圓M內(nèi)時，求a的取值范圍；
（3）過點(diǎn)A作⊙M的切線交BC于點(diǎn)F，E為切點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、F，B為頂點(diǎn)的三角形與以C、N、M為頂點(diǎn)的三角形相似時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及A點(diǎn)坐標(biāo)可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出過A、C兩點(diǎn)直線的解析式．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），可求出B、D、M、E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)故可設(shè)出拋物線的交點(diǎn)式，根據(jù)交點(diǎn)式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點(diǎn)在過點(diǎn)M且與CD垂直的直線上，又點(diǎn)N在半圓內(nèi)，即可求出a的取值范圍．
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)定理、矩形的邊長及勾股定理可求出△各邊的長，因?yàn)樵凇鰽BF與△CMN均為直角三角形，故應(yīng)分兩種情況討論即△ABF∽△CMN，△ABF∽△NMC，同時在討論時還要考慮到N在CD的下方與上方的情況．

解答：解：（1）因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
所以B（4，0），C（4，2），
設(shè)過A，C兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，
把A，C兩點(diǎn)代入得

k+b=0 4k+b=2

，
解得

k= 2 3 b=- 2 3

，
故過點(diǎn)A、C的直線的解析式為y=

2

3

x-

2

3

．

（2）由拋物線過A，B兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），
整理得，y=ax²-5ax+4a．
∴頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

5

2

，-

9a

4

）．
由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點(diǎn)在過點(diǎn)M且與CD垂直的直線上，又點(diǎn)N在半圓內(nèi)，

1

2

＜-

9a

4

＜2，
解這個不等式，得-

8

9

＜a＜-

2

9

．

（3）設(shè)EF=x，則CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理AB²+BF²=AF²，
得x=

9

8

，BF=

7

8

，
①由△ABF∽△CMN得，

AB

CM

=

BF

MN

，即MN=

BF•CM

AB

=

7

16

．
當(dāng)點(diǎn)N在CD的下方時，由-

9a

4

=2-

7

16

=

25

16

，求得N1（

5

2

，

25

16

）．
當(dāng)點(diǎn)N在CD的上方時，由-

9a

4

=2+

7

16

=

39

16

，求得N ₂（

5

2

，

39

16

）．
②由△ABF∽△NMC得，

AB

NM

=

BF

MC

即MN=

AB•CM

BF

=

36

7

．
當(dāng)點(diǎn)N在CD的下方時，由-

9a

4

=2-

36

7

=-

22

7

，求得N₃（

5

2

，-

22

7

）．
當(dāng)點(diǎn)N在CD的上方時，由-

9a

4

=2+

36

7

=

50

7

，求得N₄（

5

2

，

50

7

）．

點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，綜合性較強(qiáng)，綜合考查了圓、一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道難度較大的題目．