Question

在△ABC中，tanA=

1

2

，AC邊的垂直平分線交AB邊于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑⊙O，交AB邊于點(diǎn)D，AD=3BD．
  （1）求證：BC是⊙O的切線；
  （2）將AC沿AD翻折，交⊙O于E，BC=4，求△BEC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,翻折變換（折疊問題）

專題：證明題

分析：（1）作DG∥AC交BC于G，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得OA=OC，即點(diǎn)C在⊙O上，則利用圓周角定理得到∠ACD=90°，在Rt△ACD中由于tanA=

CD

AC

=

1

2

，設(shè)CD=2x，則AC=4x，根據(jù)勾股定理得AD=2

5

x，所以BD=

2 5

3

x，再證明△BDG∽△BAC，利用相似的性質(zhì)得DG=x，BG=

1

4

BC，接著在Rt△CDG中，利用勾股定理計算出CG=

5

x，可計算出BC=

4 5

3

x，在△BOC中，計算出OC²=5x²，BC²=

80

9

x²，OB²=

125

9

x²，所以O(shè)C²+BC²=OB²，根據(jù)勾股定理的逆定理得∠OCB=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得BC是⊙O的切線；
（2）CE交AB于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得CE⊥AB，再根據(jù)垂徑定理得CH=EH，利用（1）中的計算結(jié)果得到BC=

4 5

3

x=4，則x=

3 5

5

，所以O(shè)Cx=3，OB=5，
利用面積法得

1

2

CH•OB=

1

2

OC•BC，可計算出CH=

12

5

，然后在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理計算出=

16

5

，最后根據(jù)薩迦縣面積公式求解．

解答：（1）證明：作DG∥AC交BC于G，如圖，
∵AC邊的垂直平分線交AB邊于點(diǎn)O，
∴OA=OC，即點(diǎn)C在⊙O上，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，tanA=

CD

AC

=

1

2

，設(shè)CD=2x，則AC=4x，
∴AD=

CD2+AC2

=2

5

x，
∴OC=OD=OA=

5

x，
∵AD=3BD，
∴BD=

2 5

3

x，
∵DG∥AC，
∴∠CDG=∠ACD=90°，△BDG∽△BAC，
∴

DG

AC

=

BG

BC

BD

BA

=

1

4

，
∴DG=

1

4

•4x=x，BG=

1

4

BC，
在Rt△CDG中，CG=

DG2+CD2

=

5

x，
∴BG=

1

3

CG=

5

3

x，
∴BC=

4 5

3

x，
在△BOC中，∵OC²=（

5

x）²=5x²，BC²=（

4 5

3

x）²=

80

9

x²，
∴OC²+BC²=

125

9

x²，
而OB²=（

5

x+

2 5

3

x）²=

125

9

x²，
∴OC²+BC²=OB²，
∴△OBC為直角三角形，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：CE交AB于H，如圖，
∵△ACB沿AD翻折得到△AEB，
∴CE⊥AB，
∴CH=EH，
∴BC=

4 5

3

x=4，
∴x=

3 5

5

，
∴OC=

5

x=3，OB=

5

x+

2 5

3

x=5，
∵

1

2

CH•OB=

1

2

OC•BC，
∴CH=

12

5

，
在Rt△BCH中，BH=

BC2-CH2

=

16

5

，
∴S_△BCE=

1

2

BH•CE=

1

2

BH•2CH=

16

5

•

12

5

=

192

25

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理及其逆定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．