Question

．(9分)如圖，AB為⊙O內垂直于直徑的弦，AB、CD相于點H，△AED與△AHD
關于直線AD成軸對稱．
（1）試說明：AE為⊙O的切線；
（2）延長AE與CD交于點P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

（1）連結OA

由△AED與△AHD關于直線AD成軸對稱可知∠ADO＝∠ADE  ………1分
因為AB⊥CD，所以∠AED＝∠AHD＝90°．
又因為OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA   …………………2分
所以∠OAD＝∠ADE，所以OA∥DE ………3分
所以∠OAP＝90°，又因為點A在圓上，所以AE為⊙O的切線．………4分
（2）設⊙O的半徑為x,在Rt△AOP中，
OA²＋AP²＝OP²
x²＋2²＝(x＋1)²                      ………5分
解得x＝1.5

P

所以⊙O的半徑為1.5        ………7分

因為OA∥DE，所以△PED∽△PAO
所以＝，＝，解得DE＝ ………9分

 

解析