Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在y軸上。

(1).求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2).點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P點(diǎn)作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x 。

求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

                                   

Answer 1

解：(1)把A(3，4)代入y=x+m得

4=3+m ，∴m=1

由拋物線的頂點(diǎn)為C（3,4）可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x—1)² ,把A（3,4）代入得，

4=a(3—1)²   ∴ a=1

∴ 二次函數(shù)的解析式為y=(x—1)²

.(2) 由(1)知直線AB的解析式為y=x+1

∵ 點(diǎn)P在直線AB上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y_P=x+1 ，

由PE⊥x軸知點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x ，

∵ 點(diǎn)E在拋物線上，∴ 點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y_E=(x—1)²

∴ PE=y_P—y_E=（x+1）—(x—1)²= —x²+3x

即 h= —x²+3x   (0<x<3)  存在符合條件的點(diǎn)P，理由如下

當(dāng)PE=DC時(shí)，∵ PE∥DC，且PE=DC，

∴ 四邊形DCEP是平行四邊形，

函數(shù)y=x+1當(dāng)x=1時(shí)，y=2 ，

∴ D（1,2）∴ DC=2 ，∴PE=2

即  —x²+3x=2    解得x₁=1(舍去)  ,x₂=2

當(dāng)x=2時(shí)，y_P=x+1=3   

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）