Question

已知，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積；

（3）在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使，△MBC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時(shí),x²-1=0,解得x₁=1,x₂=﹣1．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

當(dāng)x=0時(shí),y=0²-1=﹣1,

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）．                

（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q．

∵AO=BO=CO=1,∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=∠OCB=45°，

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵AP∥CB，

∴∠PAC=180°﹣∠ACB=90°，

∴四邊形ACBP是直角梯形．           

∴∠PAQ=∠PAC-∠CAB=45°．

∵∠AQP=90°，

∴PQ=AQ．

設(shè)P點(diǎn)（a,a²-1）,則AQ=OA+OQ=1+ a．

∵AQ=PQ,

∴1+ a= a²-1,解得a₁=2,a₂=-1；

∵點(diǎn)P在第一象限，∴a=2．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴AP=3．       

∵AC=BC=,S_{四邊形ACBP}=4．           

（3）存在.延長(zhǎng)CA到點(diǎn)C’，使AC’=AC,過(guò)點(diǎn)C’作C’D⊥軸于點(diǎn)D,連接BC’,則BC’與AP的交點(diǎn)即為M點(diǎn)．

∵∠PAC=90°,

∴C與C’關(guān)于AP對(duì)稱(chēng)．

∵∠C’AD=∠CAO, ∠C’DA=∠COA,C’A=CA,

∴△C‘DA≌△COA．                     

∴DA=OA=1，C’D=CO=1，∴OD=OA+AD=2，

∴C’點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，1) ．

∴直線AP與直線BC’的解析式分別為；．

∴解方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

∴在線段AP上存在一點(diǎn)M（，），使△MBC的周長(zhǎng)最�。�