Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點.
    （1）求拋物線的解析式；
    （2）設(shè)拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍；
    （3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點.問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3,0），B（-1,0）兩點
    ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0
    解得a＝1    b＝4

∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)²-1∴拋物線的頂點M（-2，,1）∴直線OD的解析式為y=x
    于是設(shè)平移的拋物線的頂點坐標(biāo)為（h， h），

∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h.①當(dāng)拋物線經(jīng)過點C時，∵C（0，9），∴h²+h=9，
    解得h=. ∴ 當(dāng) ≤h<
    時，平移的拋物線與射線CD只有一個公共點.
    ②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點時，
    由方程組y=（x-h）²+h,y=-2x+9.
    得 x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
    解得h=4.
    此時拋物線y=（x-4）²+2與射線CD唯一的公共點為（3，3），符合題意.
    綜上：平移的拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍是 h=4或 ≤h<.
    （3）方法1
    將拋物線平移，當(dāng)頂點至原點時，其解析式為y=x²，

設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）.
    假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P（0，t），如圖，過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H.∵△PEF的內(nèi)心在y軸上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,
    ∴-x_E/x_F=(y_E-t)/(y_F-t)=(kx_E+3-t)/(kx_F+3-t)
    ∴2kx_E·x_F=（t-3）（x_E+x_F）
    由y=x²，y=-kx+3.得x²-kx-3=0.
    ∴x_E+x_F=k,x_E·x_F=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y軸的負(fù)半軸上存在點P（0，-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上.

方法2 設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）,點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（m,m²）（n,n²）由方法1知：mn=-3.作點E關(guān)于y軸的對稱點R（-m,m²）,作直線FR交y軸于點P，由對稱性知∠EPQ=∠FPQ，∴點P就是所求的點.由F,R的坐標(biāo)，可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn.當(dāng)x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y軸的負(fù)半軸上存在點P（0,-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上.