Question

4．已知，△ABC中，AB=AC，90°＜∠BAC＜120°，點P為射線CB上一點，連接PA．
（1）當∠APC=30°（如圖a）時，求證：PC+PB=$\sqrt{3}$PA；
（2）當∠APC=45°（如圖b）時，線段PC、PB、PA間的數(shù)量關(guān)系為PC-PB=$\sqrt{2}$PA；
（3）在（2）的條件下，作線段PC的垂直平分線，交PC于點D，交PA的延長線于點E，將射線AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°，交射線CE于點F，若PA=3$\sqrt{2}$，PB=1，求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC垂足為D，延長BC到P′使得PA=AP′，利用AD=APsin30°=（PB+BD）tan30°以及PB+PC=PC+CP′=PP′=2（PB+BD）解決問題．
（2）AD⊥BC垂足為D，在線段CB上取一點P′使得AP=AP′，利用AD=APsin45°=（BD-PB）tan45°，以及PC-PB=2（BD-PB）解決問題．
（3）先證明△APB∽△CAF得到∠F=∠B由∠AEF=∠EDB=90°可知△FEA∽△BDE得$\frac{EF}{BD}=\frac{EA}{DE}$，即可解決．

解答 （1）證明：作AD⊥BC垂足為D，延長BC到P′使得PA=AP′，
∵AB=AC，AP=AP′，
∴BD=DC，PD=DP′，
∴PB=P′C
∴PB+PC=PC+CP′=PP′=2（PB+BD）
∵∠P=∠P′=30°，
∴AD=APsin30°=（PB+BD）tan30°，
∴AP$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（PB+PC）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PB+PC=$\sqrt{3}$AP．
（2）結(jié)論：PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
證明：在圖b中，作AD⊥BC垂足為D，在線段CB上取一點P′使得AP=AP′，
∵AB=AC，
∴BD=DC，DP=DP′，BP=P′C，
∴AD=APsin45°=（BD-PB）tan45°，
∵PC-PB=2（BD-PB），
∴PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
故答案為PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
（3）如圖由2可知：PB=CP′=1，PC=7，EP=EC=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵AE=PE-AP，
∴AE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-3$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=PD=DC=3.5，BD=4.5，
∵∠BAP=∠APC-∠B=45°-∠B，∠FCA=∠ECP-∠ACB=45°-∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠PAB=∠FCA，
∵∠APB=∠FAC=135°，
∴△APB∽△CAF，
∴∠F=∠B，
∵∠AEF=∠EDB=90°，
∴△FEA∽△BDE，
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{EA}{DE}$，
∴$\frac{EF}{4.5}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3.5}$，
∴EF=$\frac{9\sqrt{2}}{14}$．

點評 本題考查等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性比較強，根據(jù)對稱作輔助線是本題得到解決的關(guān)鍵．