Question

已知拋物線y＝－x²－2kx＋3k²(k＞0)交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，以AB為直徑的⊙E交y軸于點D、F(如下圖)，且DF＝4，G是劣弧上的動點(不與點A、D重合)，直線CG交x軸于點P．

求拋物線的解析式；

當直線CG是⊙E的切線時，求tan∠PCO的值．

當直線CG是⊙E的割線時，作GM⊥AB，垂足為H，交PF于點M，交⊙E于另一點N，設MN＝t，GM＝u，求u關于t的函數(shù)關系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解方程－x2－2kx＋3k2＝0． 　　得x1＝－3k，x2＝k 　　由題意知OA＝|－3k|＝3k，OB＝|k|＝k． 　　∵直徑AB⊥DF．∴OD＝OF＝DF＝2． 　　∵， 　　∴3k·k＝2×2，得k＝±(負的舍去)． 　　則所求的拋物線的解析式為． 　　(2)由(1)可知AO＝，AB＝，EG＝，OC＝3k2＝4． 　　連結EG， 　　∵CG切⊙E于G，∴∠PGE＝∠POC＝90°， 　　∴Rt△PGE∽Rt△POC.∴．(﹡) 　　由切割線定理得． 　　PO＝PA＋AO＝PA＋． 　　代入(﹡)式整理得PA2＋PA－6＝0． 　　解得PA＝3－(∵PA＞0)． 　　∴tan∠PCO＝ 　　∴GN∥CF，∴△PGH∽△PCO， 　　∴． 　　同理．∴． 　　∵CO＝4，OF＝2，∴HM＝GH＝HN＝MN， 　　∴GM＝3MN，即u＝3t(0＜t≤)