Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．

（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；

（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

考點：

切線的判定；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）根據(jù)當點P是的中點時，得出=，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；

（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長．

解答：

解：（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線．理由如下：

∵AB=AC，

∴=，

又∵=，

∴=，

∴PA是○O的直徑，

∵=，

∴∠1=∠2，

又AB=AC，

∴PA⊥BC，

又∵DP∥BC，

∴DP⊥PA，

∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設PA交BC于點E．

由垂徑定理，得BE=BC=6，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：

AE===8，

設⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，

在Rt△OBE中，由勾股定理，得：

r²=6²+（8﹣r）²，

解得r=，

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，

又∵∠1=∠1，

∴△ABE∽△ADP，

∴=，即=，

解得：DP=．

點評：

此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABE∽△ADP是解題關鍵．