Question

8．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6）．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△BCF∽△EBD，求直線FB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)可求得k的值，又由點(diǎn)E的位置可求得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可求得CF的長，可求得OF，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線FB的解析式．

解答 解：
（1）在矩形OABC中，
∵B（4，6），
∴BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6），
∵又曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，6），
∴k=12，
∵E點(diǎn)在AB上，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∵y=$\frac{12}{x}$經(jīng)過點(diǎn)E，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；
（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{BD}{CF}$=$\frac{BE}{CB}$，即$\frac{2}{CF}$=$\frac{3}{4}$，
∴CF=$\frac{8}{4}$，
∴OF=$\frac{10}{3}$，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，$\frac{10}{3}$），
設(shè)直線FB的解析式為y=kx+b，而直線FB經(jīng)過B（4，6），F(xiàn)（0，$\frac{10}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=6}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BF的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)等知識．在（1）中求得E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度不大．