Question

12．如圖，矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，△EFG為邊長8的等邊三角形，將△EFG按圖①位置擺放，點(diǎn)F在CB延長線上，點(diǎn)B、點(diǎn)G重合．現(xiàn)將△EFG向右以每秒2個單位長度的速度平移，直至點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時停止．設(shè)平移時間為t秒．
（1）求出點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時t的值；
（2）記平移過程中△EFG與△ABC的重合部分面織為S，直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍；（t＞0）；
（3）如圖②，點(diǎn)H、點(diǎn)I分別為AB、BC中點(diǎn)，在△EFG向右平移過程中（點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時停止平移），是否存在點(diǎn)F使得△FHI為等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件求出線段BC的長度，即可求出當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時t的值；
（2）隨著t的增大，圖形的形狀也在變化，分類討論，得出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）等腰三角形有三種情況，分三種情況根據(jù)邊與角的關(guān)系，即可求出t的值．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴BC=AB•cot∠ACB=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=12，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時t=12÷2=6秒．
（2）結(jié)合題意可知分三種情況：
①E點(diǎn)還沒進(jìn)入矩形ABCD，如備用圖1，

此時0＜2t≤$\frac{1}{2}$FG，即0＜t≤2，
BG=2t，BR=BG•tan∠EGF=2$\sqrt{3}$t，
此時△EFG與△ABC的重合部分面織S=$\frac{1}{2}$BG•BR=2$\sqrt{3}$t²（0＜t≤2）；
②E點(diǎn)在線段AD上，F(xiàn)點(diǎn)還未進(jìn)入矩形ABCD，如備用圖2，

此時$\frac{1}{2}$FG＜2t≤FG，即2＜t≤4，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠EFG=60°，∠EAO=∠ABC=30°，
∴EO⊥AO，
在△AEO和△QEO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠QEO=60°}\\{EO=EO}\\{∠EOA=∠EOQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△QEO（ASA），
∴S_△AEO=S_△QEO，
BG=2t，AE=BG-$\frac{1}{2}$FG=2t-4，AO=AE•sin∠AEO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-4），EO=AE•cos∠AEO=$\frac{1}{2}$（2t-4），
BF=FG-BG=8-2t，BR=BF•tan∠EFG=$\sqrt{3}$（8-2t），
此時△EFG與△ABC的重合部分面織S=$\frac{1}{2}$EF•FG•sin∠EFG-$\frac{1}{2}$BF•BR-$\frac{1}{2}$AO•EO=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+18$\sqrt{3}$t-18$\sqrt{3}$（2＜t≤4）．
③F點(diǎn)在線段BC上，如備用圖，

此時FG＜2t≤BC，即4＜t≤6，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠EFG=60°，∠EAO=∠ABC=30°，
∴EO⊥AO，
在△AEO和△QEO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠QEO=60°}\\{EO=EO}\\{∠EOA=∠EOQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△QEO（ASA），
∴S_△AEO=S_△QEO，
BG=2t，AE=BG-$\frac{1}{2}$FG=2t-4，AO=AE•sin∠AEO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-4），EO=AE•cos∠AEO=$\frac{1}{2}$（2t-4），
此時△EFG與△ABC的重合部分面織S=$\frac{1}{2}$EF•FG•sin∠EFG-$\frac{1}{2}$AO•EO=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t+14$\sqrt{3}$（4＜t≤6）．
綜上知△EFG與△ABC的重合部分面織S=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+18\sqrt{3}t-18\sqrt{3}（2＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t+14\sqrt{3}（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（3）假設(shè)存在，連接HF、HI，如圖2所示，

①HF=HI時，則有BF=BI=$\frac{1}{2}$BC=12÷2=6，
BG=2t，BF=FG-BG=8-2t=6，
解得t=1．
②HI=FI時，HI=$\sqrt{B{H}^{2}+B{I}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
BG=2t，F(xiàn)I=FG+BI-BG=14-2t=4$\sqrt{3}$，
解得t=（7-2$\sqrt{3}$）．
③FH=FI時，F(xiàn)I=FG+BI-BG=14-2t，
BG=2t，BF=BG-FG=2t-8，F(xiàn)H=$\sqrt{B{F}^{2}+B{H}^{2}}$=14-2t，
即有24t=120，解得t=5．
綜合①②③得存在點(diǎn)F使得△FHI為等腰三角形，t的值為1、7-2$\sqrt{3}$和5．

點(diǎn)評 本題考查了三角形全等的判定定理、勾股定理及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用時間=路程÷速度；（2）畫出圖形，結(jié)合圖形，找到重合部分圖形變化的臨界點(diǎn)，分類討論；（3）等腰三角形分成三種情況，按照時間的順序分別探討，即可得出結(jié)論．