Question

已知：如圖，拋物線交x軸正半軸于A、B兩點，交y軸于C點，過A、B、C三點作⊙D．若⊙D與y軸相切．
（1）求c的值；
（2）連接AC、BC，設∠ACB=α，求tanα；
（3）設拋物線頂點為P，判斷直線PA與⊙D的位置關系，并證明．

Answer 1

解：（1）連接DC，作AB的垂直平分線MN，交AB于E，連接DA．
∵⊙D經過點C且與y軸相切
∴⊙D與y軸相切于點C
∴DC⊥y軸
∵⊙D和拋物線都經過點A、B
∴MN經過點D、P
∴MN是拋物線的對稱軸
由y=x²-3x+c知：
對稱軸是x=3；令x=0得y=c．
∴點C坐標為（0，c），點D坐標為（3，c），
⊙D的半徑為3
由y=x²-3x+c知，
令y=0得x²-3x+c=0
解得：x₁=3+，x₂=3-
∴點A坐標為（3-，0），
點B坐標為（3+，0）
∴AE=（OB-OA）=[（3+）-（3-）]=
在Rt△ADE中，AE²+DE²=DA²，即：（）²+c²=9
∴c²-2c=0解得：c=0（不符題意舍）或c=2．
∴c=2．

（2）延長AD交圓于點F，連接BF．
∵AF是⊙D的直徑
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2，AF=6，
∴BE===4．
∴tan∠F===．
∵∠ACB與∠F都是弧AB所對的圓周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα=．

（3）判斷：直線PA與⊙D相切．
連接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE==
易知：頂點P坐標為（3，）
在Rt△ADE中，PA²=AE²+PE²=5+=
又：PD²=（DE+EP）²=（2+）²=；DA²=3²=9
因為9+=
所以，在△DAP中，DA²+PA²=PD²
所以，△DAP為直角三角形，∠DAP=90°，點A在圓上
所以，PA與⊙D相切．
分析：（1）根據圓和拋物線的對稱性可知：圓心D必在拋物線的對稱軸上，因此D的橫坐標與拋物線的對稱軸的值相同，可根據拋物線的解析式求出對稱軸的值即可得出D點的橫坐標，由于圓D和y軸相切，因此D的橫坐標就是圓的半徑．先根據拋物線的解析式，用c表示出A、B的坐標，即可表示AB的長，然后在直角三角形AED中，AE=AB，DE=OC=c，已經求得了圓的半徑根據勾股定理即可得出c的值，進而可求出拋物線的解析式．
（2）由于∠ACB不在直角三角形中，因此無法直接求出其正切值，可通過構建直角三角形來求解．延長AD交圓與F，連接BF，那么∠ABF=90°，根據圓周角定理可知：∠F=∠ACB=α，因此在直角三角形ABF中，求∠F的正切值即可．
（3）連接PA，證∠PAD是否等于90°即可，根據拋物線的解析式可得出A、B、P的坐標，然后根據坐標系中兩點間的距離公式求出DA²、AP²、DP²的長，看DA²+AP²是否與DP²相等即可．
點評：本題為二次函數綜合題，綜合考查了圓的相關知識和二次函數的應用．難度較大．