Question

3．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，2∠BCF=∠BAC．
（1）求∠ADE的度數(shù)．
（2）求證：直線CF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可以求得∠ADE的度數(shù)．
（2）欲證明直線CF是⊙O的切線，只需推知∠ACF=90°．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ACE=60°，
∴∠ADE=180°-∠ACE=120°；

（2）∵⊙O的直徑是AC，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵2∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF=∠CAE．
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．
又AC是直徑，
∴直線CF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)．切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．