Question

為發(fā)展山區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，縣政府鼓勵農(nóng)民結(jié)合本地實(shí)際開發(fā)果樹種植．綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹．按照種果樹的經(jīng)驗(yàn)，每棵蘋果樹結(jié)的果實(shí)的利潤y₁元與平均每棵蘋果樹的護(hù)理投資x元之間的關(guān)系是y₁₌每棵桃樹結(jié)的果實(shí)的利潤y₂元與平均每棵桃樹的護(hù)理投資t元之間的關(guān)系是（0≤t≤6）．青年張青松為這50棵果樹總共投資240元．
（1）求出張青松種植50棵果樹的總利潤w元與平均每棵蘋果樹護(hù)理投資x元之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（2）如何分配這兩種果樹的投資金額，使得張青松的總利潤達(dá)到最大值？

Answer 1

解：（1）∵綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹，平均每棵蘋果樹的護(hù)理投資x元，平均每棵桃樹的護(hù)理投資t元，
∴20x+30t=240，∴t=8-x．
則y₂與x的關(guān)系是：y₂=3t+27=-2x+51（3≤x≤12）
y₂=45 （x＜3）．
∴當(dāng)0≤x＜3時(shí)，w=20y₁+30y₂=20[-0.25（x-8）²+36]+30×45=-5x²+80x+1750，
當(dāng)3≤x≤6時(shí)，w=20y₁+30y₂=20[-0.25（x-8）²+36]+30（-2x+51）=-5x²+20x+1930，
當(dāng)6＜x≤12時(shí)，w=20y₁+30y₂=20×35+30（-2x+51）=-60x+2230．
即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：
W=-5x²+80x+1750（0≤x＜3）
W=-5x²+20x+1930 （3≤x≤6）
W=-60x+2230（6＜x≤12）．

（2）當(dāng)0≤x＜3時(shí)，w=-5x²+80x+1750=-5（x-8）²+2070，
w隨x的增大而增大，
∴x＜3時(shí)，w＜1945．
當(dāng)3≤x≤6時(shí)，w=-5x²+20x+1930=-5（x-2）²+1950，
w隨x的增大而減小，
∴x=3時(shí)，w_max=-5+1950=1945．
當(dāng)6＜x≤12時(shí)，w=-60x+2230，-60＜0，
w隨x的增大而減小，
∴x＞6時(shí)，w＜-60×6+2230=1870．
綜上所述，當(dāng)x=3時(shí)，w有最大值，此時(shí)t=6．
即：每棵蘋果樹投資3元，每棵桃樹投資6元時(shí)，可以使得張青松的總利潤達(dá)到最大值．
分析：（1）利用綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹，平均每棵蘋果樹的護(hù)理投資x元，平均每棵桃樹的護(hù)理投資t元，
得出20x+30t=240，即t=8-x，進(jìn)而得出y₂與x的函數(shù)關(guān)系式，得出x的取值范圍，進(jìn)而得出w與x之間的關(guān)系式；
（2）利用配方法以及二次函數(shù)的增減性分別求出最大值即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法，同學(xué)們需要掌握函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式及函數(shù)的最值問題的靈活應(yīng)用．