Question

【題目】如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于90°，就稱這兩個(gè)角互為垂角，其中一個(gè)角叫另一個(gè)角的垂角．

(1)如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，直接寫(xiě)出圖中∠BOE的垂角為　 　；

(2)如果一個(gè)角的垂角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的，求這個(gè)角的度數(shù)；

(3)如圖2，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝75°，將整個(gè)圖形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0＜n＜180)，直線AB旋轉(zhuǎn)到A1B1，OC旋轉(zhuǎn)到OC1，作射線OP，使∠BOP＝∠BOB′，試直接寫(xiě)出當(dāng)n＝　 　時(shí)，∠POA1與∠AOC1互為垂角．

Answer 1

【答案】(1)∠DOB，∠EOC；(2)這個(gè)角的度數(shù)為18或126度；(3)30.

【解析】

（1）根據(jù)互為垂角的定義即可求解；

（2）利用題中的“一個(gè)角的垂角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的”作為相等關(guān)系列方程求解；

（3）分0＜n＜75，75＜n＜90兩種情況討論可得n的值．

(1)∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC互為垂角的角，

∴圖中∠BOE的垂角為∠DOB，∠EOC，

故答案為：∠DOB，∠EOC；

(2)設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x度，則

①當(dāng)0＜x＜90時(shí)，它的垂角是90+x度，依題意有

90+x＝(180﹣x)，

解得x＝18；

②當(dāng)90＜x＜180時(shí)，它的垂角是x﹣90度，依題意有

x﹣90＝(180﹣x)，

解得x＝126；

故這個(gè)角的度數(shù)為18或126度；

(3)當(dāng)n＝75時(shí)OC′和OA重合，分兩種情況：

①當(dāng)0＜n＜75時(shí)，∠COC′＝n°，∠AOC′＝75°﹣n°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(75﹣n)|＝90，

∵0＜n＜75，

∴n＝30；

②當(dāng)75＜n＜90時(shí)，∠AOC′＝n°﹣75°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(n﹣75)|＝90，

解得n＝66或138，

∵75＜n＜90，

∴n＝66或138舍去；

綜上所述；n＝30時(shí)，∠POA′與∠AOC′互為垂角，

故答案為：30．