Question

（2012•閔行區(qū)二模）在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，那么依次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形一定是（　�。�

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．平行四邊形

Answer 1

分析：利用三角形中位線定理可以推知四邊形EFGH是平行四邊形；然后由三角形中位線定理、已知條件“AC⊥BD”推知HE⊥HG；最后由矩形判定定理“有一內(nèi)角為直角是平行四邊形是矩形”可以證得?EFGH是矩形．

解答：解：如圖所示：AC⊥BD，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點；
∵在△DAC中，根據(jù)三角形中位線定理知，HG∥AC且HG=

1

2

AC；
同理在△ABC中，EF∥AC且EF=

1

2

AC，
∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
同理，HE∥DB；
又∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴?EFGH是矩形；
故選B．

點評：本題考查了三角形中位線定理、矩形的判定定理．三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．