Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，－1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（－2，0），已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A'D'∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A'D'與y軸重合時運(yùn)動停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動過程中直尺的邊A'D'交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長度的最大值；

（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A'D'上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ＝時，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．

（說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D'在拋物線外．）

Answer 1

（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．

【解析】

試題分析：（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標(biāo)，易得△CDA≌△AOB，所以C點(diǎn)坐標(biāo)易知．進(jìn)而拋物線解析式易得．

（2）橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)距離，可以用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)作差，因為兩點(diǎn)分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設(shè)橫坐標(biāo)為x，表示兩個縱坐標(biāo)．作差記得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用最值性質(zhì)，結(jié)果易求．

（3）計算易得，BC=，因為Q為BC的中點(diǎn)，PQ=恰為半徑，則以作圓，P點(diǎn)必在圓上．此時連接PB，PC，PA，因為BC為直徑，故BP2+CP2=BC2為定值，而PA不固定，但不超過BC，所以易得結(jié)論BP2+CP2≥PA2，題目要求考慮三種情況，其中P在拋物線上時，P點(diǎn)只能與B或C重合，此時，PA，PB，PC可求具體值，則有等量關(guān)系．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，此時△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（-1，-3）．

將B（-2，0），C（-1，-3）代入拋物線y=x2+bx+c，

解得 b=，c=-3，

∴拋物線的解析式為y=x2+x-3．

（2）設(shè)lBC：y=kx+b，

∵B（-2，0），C（-1，-3），

∴，

解得 ，

∴l(xiāng)BC：y=-3x-6，

設(shè)M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），

∵xM=xN（記為x），yM≥yN，

∴線段MN長度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），

∴當(dāng)x=-時，線段MN長度為最大值．

（3）答：P在拋物線外時，BP2+CP2≥PA2；P在拋物線上時，BP+CP=AP；P在拋物線內(nèi)，BP2+CP2≥PA2．

分析如下：

如圖2，以Q點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB==，

∴BC=，

∴BQ=CQ=，

∵∠BAC=90°，

∴點(diǎn)B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，

如圖3，圓Q與BD′的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點(diǎn)D

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∵BD′與y軸平行

∴∠ADC=90°，且D點(diǎn)為拋物線與y軸交點(diǎn)

∴PD∥x軸

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP=AP．

②P在拋物線上，此時，P只能為B點(diǎn)或者C點(diǎn)，

∵AC=AB=，

∴AP=，

∵BP+CP=BC=，

∴BP+CP=AP．

③P在拋物線內(nèi)，有兩種情況，如圖4，5，

如圖4，在PC上取BP=PT，

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∴△BPT為等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+PA=PB+PA

∴PC-PB=PA

同理，如圖5，也可得PB-PC=PA．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．