Question

【題目】在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結BE．

（1）若點在線段上時（如圖），則 （填“＞”、“＜”或“=”），　 　度；

（2）設直線BE與直線的交點為O.

①當動點在線段的延長線上時（如圖），試判斷與的數量關系，并說明理由；

②當動點在直線上時，試判斷是否為定值？若是，請直接寫出的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，理由見解析；②

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以得到∠ACD=∠BCE，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進而得到；可根據等邊三角形的性質可以直接得出結論；

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以得到∠ACD=∠BCE，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進而得到；

②分情況討論，當點D在線段AM上時，由①得：∠AOB=60°；當點D在線段AM的延長線上時，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；當點D在線段MA的延長線上時，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵線段AM為BC邊上的中線，

∴∠CAM=∠BAC，

∴∠CAM=30°，

故答案為：=，30°；

（2）①，理由如下：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

，

即，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：

當點D在線段AM上時，由①得：∠AOB=60°；

當點D在線段AM的延長線上時，如圖2所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

當點D在線段MA的延長線上時，如圖3所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°，

∴∠CBE=∠CAD=150°，

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

綜上所述，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB=60°．