如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，過點(diǎn)C（3，6）分別作x軸和y軸的垂線CB和CA，垂足分別為B和A，點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OB向B以1個長度單位/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC向C以2個長度單位/秒的速度運(yùn)動．如果P、Q分別從O、B同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t，試求：
（1）t為何值時，△PBQ的面積等于2個平方單位；
（2）若P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似，求此時P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
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分析：（1）可設(shè)OP=t，BQ=2t，則有PB=OB-OP=3-t．根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于t的方程，即可求出此時t的值；
（2）分為①若△PBQ∽△ACB；②若△PBQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意有OB=3，BC=6
∵OP=t，BQ=2t
∴PB=OB-OP=3-t（2分）
∴S△PBQ=
1
2
PB•BQ=
1
2
•2t（3-t）=-t2+3t
當(dāng)S△PBQ=2時，-t2+3t=2，即t2-3t+2=0（t-1）（t-2）=0
∴t1=1，t2=2（4分）
∴當(dāng)t=1或t=2時，△PBQ的面積等于2個平方單位．

（2）∵∠ACB=∠PBQ=90°
①若△PBQ∽△ACB
則
BP
CA
=
BQ
CB
即
3-t
3
=
2t
6

∴t=
3
2

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為P（
3
2
，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（3，3）（7分）
②若△PBQ∽△BCA
則
BP
CB
=
BQ
CA
即
3-t
6
=
2t
3

∴t=
3
5

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為P（
3
5
，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q，3，
6
5
）（10分）
∴若P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似，此時P和Q
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（
3
2
，0），Q（3，3）或P（
3
5
，0），Q（3，
6
5
，3）．
點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)B、C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上．以AC為直徑的圓與精英家教網(wǎng)AB的延長線交于點(diǎn)D，弧CD=弧AO，如果AB=10，AO＞BO，且AO、BO是x的二次方程x2+kx+48=0的兩個根．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在直徑AC上，且AP=
14
AC，判斷點(diǎn)（-2，-10）是否在過D、P兩點(diǎn)的直線上，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，5）．
（1）直接寫出下列各點(diǎn)坐標(biāo)．A（，）C（，）D（，）；
（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留π）；
（3）直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點(diǎn)都在拋物線上？若能，請說理由；若不能，將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試確定m的值，使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時經(jīng)過A，B，C，D四點(diǎn)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•西城區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)P（1，1）、點(diǎn)C（1，3）和二次函數(shù)y=-x2．
（1）若二次函數(shù)y=-x2的圖象經(jīng)過平移后以C為頂點(diǎn)，請寫出平移后的拋物線的解析式及一種平移的方法；
（2）若（1）中平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），求cos∠PBO的值；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在x軸上且在點(diǎn)A的右端，OA=AB，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，與二次函數(shù)y=x2的圖象交于C、D兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)C、D作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)E、F，直線CD交y軸于點(diǎn)H．
（1）驗(yàn)證：S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9；
（2）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為（t，0）（t＞0），其他條件不變，（1）的結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為（t，0）（t＞0），二次函數(shù)改為y=ax2（a＞0），其他條件不變，記點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為yH，試證明：xC•xD=-
1a
yH．

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