Question

（2006•河北）探索：
在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．

（1）如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S₁，則S₁=______（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=______（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S₃，則S₃=______（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)：
像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來(lái)△ABC面積的______倍．
應(yīng)用：
去年在面積為10m²的△ABC空地上栽種了某種花卉．今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF，第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH（如圖4）．求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m²？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，得到等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等；
（2）運(yùn)用分割法：連接AD．根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行分析：等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，陰影部分的面積是（2）中求得的面積的3倍；再加上原來(lái)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．
應(yīng)用：根據(jù)上述結(jié)論，即擴(kuò)展一次后得到的三角形的面積是原三角形的面積的7倍，則擴(kuò)展兩次后，得到的三角形的面積是原三角形的面積的7²=49倍．從而得到擴(kuò)展的區(qū)域的面積是原來(lái)的48倍．
解答：解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S₁=a；

（2）2a；（2分）
理由：連接AD，

∵CD=BC，AE=CA，
∴S_△DAC=S_△DAE=S_△ABC=a，
∴S₂=2a；

（3）結(jié)合（2）得：2a×3=6a；
擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是6a+a=7a，即是原來(lái)三角形的面積的7倍．
應(yīng)用拓展區(qū)域的面積：（7²-1）×10=480（m²）．
點(diǎn)評(píng)：命題立意：考查學(xué)生探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的綜合創(chuàng)新能力．
點(diǎn)評(píng)：本題的探索過(guò)程由簡(jiǎn)到難，運(yùn)用類比方法可依次求出．從而使考生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生及發(fā)展過(guò)程，解題思想方法的感悟，體會(huì)得淋漓盡致，是一道新課標(biāo)理念不可多得的好題．