Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的正方形紙片．點O與坐標原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OC=4，點E為BC的中點，點N的坐標為（3，0），過點N且平行于y軸的直線MN與EB交于點M．現(xiàn)將紙片折疊，使頂點C落在MN上，并與MN上的點G重合，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點．
（1）求點G的坐標；
（2）求折痕EF所在直線的解析式；
（3）設(shè)點P為直線EF上的點，是否存在這樣的點P，使得以P，F(xiàn)，G為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCO是正方形，
∴BC=OA=4，
∵E為CB中點，
∴EB=2，
∵MN∥y軸，N（3，0），
∴MN⊥EB且MB=NA=1，
∴EM=1，
而EG=EC=2，
∴sin∠EGM=，
∴∠EGM=30°，
∴MG=EGcos30°=，
∴G（3，4-）；

（2）∵∠EGM=30°，
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°，
∴CF=CEtan60°=2，
∴FO=4-2，
∴F（0，4-2），E（2，4），
設(shè)直線EF的解析式：y=kx+b（k≠0），
∴，
∴，
∴折痕EF所在直線解析式：y=x+4-2；

（3）P₁（-，1-2），P₂（1，4-），P₃（，7-2），P₄（3，4+）．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，EB=2，根據(jù)MN∥y軸，N（3，0），MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，所以sin∠EGM=，即∠EGM=30°，所以MG=EGcos30°=，即G（3，4-）；
（2）先求得F（0，4-2），E（2，4），設(shè)直線EF的解析式：y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法可求得，折痕EF所在直線解析式：y=x+4-2；
（3）分為以下幾種情況：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分別計算可得，P₁（-，1-2），P₂（1，4-），P₃（，7-2），P₄（3，4+）．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．