Question

如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的角平分線交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)P、Q分別是邊AD和AE上的動點(diǎn)（兩動點(diǎn)不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是______

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，則DF即為PQ+DQ的最小值，在直角△ADF中利用正弦三角函數(shù)即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，DF與AE的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QP⊥AD，垂足即為點(diǎn)P；
（3）首先證明PQ+DQ=DF，然后分兩種情況證明（2）中的PQ+DQ為最小值：在AE上取異于Q的另一點(diǎn)Q₁．①過Q₁點(diǎn)作Q₁F₁⊥AC于點(diǎn)F₁，根據(jù)垂線段最短證明P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ；②若P₂是AD上異于P₁的任一點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短得出P₂Q₁+DQ₁＞P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ．
解答：解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，則DF即為PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的邊長是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4×=．
故答案為；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，DF與AE的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QP⊥AD，垂足即為點(diǎn)P；

（3）∵AE平分∠DAC，Q為AE上的點(diǎn)，且QF⊥AC于點(diǎn)F，QP⊥AD于點(diǎn)P，
∴QP=QF（角平分線性質(zhì)定理），
∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=．
下面證明此時的PQ+DQ為最小值：
在AE上取異于Q的另一點(diǎn)Q₁，如圖2．
①過Q₁點(diǎn)作Q₁F₁⊥AC于點(diǎn)F₁，
過Q₁點(diǎn)作Q₁P₁⊥AD于點(diǎn)P₁，
則P₁Q₁+DQ₁=F₁Q₁+DQ₁，
由垂線段最短，可得F₁Q₁+DQ₁＞FQ+DQ，
即P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ；
②若P₂是AD上異于P₁的任一點(diǎn)，
可知斜線段P₂Q₁＞垂線段P₁Q₁，
∴P₂Q₁+DQ₁＞P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ．
從而可得此處PQ+DQ的值最小．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．