Question

【題目】如圖，正方形ABCD邊長為4，點O在對角線DB上運動（不與點B，D重合），連接OA，作OP⊥OA，交直線BC于點P．

（1）判斷線段OA，OP的數量關系，并說明理由．

（2）當OD＝時，求CP的長．

（3）設線段DO，OP，PC，CD圍成的圖形面積為S1，△AOD的面積為S2，求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）OA＝OP，理由見解析；（2）PC＝2；（3）當x＝2時，S1﹣S2有最大值是4

【解析】

（1）證明四邊形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再證明△AGO≌△PHO（ASA），則OA＝OP；

（2）如圖2，作輔助線，證明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，證明△ADO≌△CDO（SAS），可得PC的長；

（3）如圖3，作輔助線，構建三角形全等，設OH＝x，則DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根據S△AOD＝S△COD，則S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得結論．

解：（1）OA＝OP，理由是：

如圖1，過O作OG⊥AB于G，過O作OH⊥BC于H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，

∴OG＝OH，

∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，

∴四邊形OGBH是正方形，

∴BG＝BH，∠GOH＝90°，

∵∠AOP＝∠GOH＝90°，

∴∠AOG＝∠POH，

∴△AGO≌△PHO（ASA），

∴OA＝OP；

（2）如圖2，過O作OQ⊥CD于Q，過O作OH⊥BC于H，連接OC，

∴∠OQD＝90°，

∵∠ODQ＝45°，

∴△ODQ是等腰直角三角形，

∵OD＝，

∴OQ＝DQ＝1，

∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，

∴△ADO≌△CDO（SAS），

∴AO＝OC＝OP，

∵OH⊥PC，

∴PH＝CH＝OQ＝1，

∴PC＝2；

（3）如圖3，連接OC，過O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，

設OH＝x，則DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，

由（2）知：△AOD≌△COD，

∴S△AOD＝S△COD，

∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

當x＝2時，S1﹣S2有最大值是4．