Question

如圖，在△ABC中，以AB邊為直徑的⊙O交BC于點D，CE⊥AB分別交⊙O于點E、F兩點，交AB于點G，連接BE、DE．
（1）求證：∠BED=∠BCE；
（2）若∠ACB=45°，AB=

5

，CD=2，求BE及EF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接AD，得出∠BED=∠BAD，根據三角形內角和定理求出∠BAD=∠BCE，即可得出答案．
（2）連接AE，求出AD=DC=2，在Rt△ADB中，由勾股定理求出BD=1，證△BED∽△BCE，得出

BE

BD

=

BC

BE

，求出BE，由勾股定理求出AE=

2

，在△AEB中，根據三角形面積公式得出AE×BE=AB×EG，求出EG，根據垂徑定理求出EF即可．

解答：（1）證明：
連接AD，
則∠BED=∠BAD，
∵CE⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∴∠ABD+∠BCE=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
∴∠BED=∠BCE．

（2）解：連接AE，
∵∠ADC=90°，∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴AD=DC=2，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD=

( 5 )2-22

=1，
∵∠EBD=∠EBD，∠BED=∠BCE，
∴△BED∽△BCE，
∴

BE

BD

=

BC

BE

，
∴BE²=1×（1+2）=3，
∴BE=

3

，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，由勾股定理得：AE=

AB2-BE2

=

( 5 )2-( 3 )2

=

2

，
在△AEB中，根據三角形面積公式得：AE×BE=AB×EG，

2

×

3

=

5

EG，
EG=

30

5

，
∵AB⊥EF，AB過O，
∴EF=2EG=

2 30

5

．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，三角形面積，圓周角定理，垂徑定理等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．