Question

觀察下列各式的規(guī)律：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²，
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²，
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²，
…
（1）寫出第2011行的式子；
（2）寫出第n行的式子，并證明你的結(jié)論的正確性．

Answer 1

分析：（1）首先可以看式子的左邊，三個(gè)平方數(shù)的特點(diǎn)：是第幾個(gè)算式，第一個(gè)加數(shù)就是幾的平方，第三個(gè)加數(shù)是幾+1的平方，第二個(gè)加數(shù)是兩邊加數(shù)的底數(shù)乘積的平方；再看右邊結(jié)果是中間加數(shù)底數(shù)+1的平方；由此規(guī)律寫出答案即可．
（2）利用（1）的規(guī)律寫出等式，把左邊因式分解，看是否等于右邊的式子即可．

解答：解：（1）第2 011行的式子為：
2011²+（2011×2012）²+2012²
=（2011×2012+1）²；

（2）第n行的式子為：
n²+[n×（n+1）]²+（n+1）²
=[n×（n+1）+1]²；
∵n²+[n×（n+1）]²+（n+1）²
=n²+[n×（n+1）]²+n²+2n+1
=[n×（n+1）]²+2n（n+1）+1
=[n×（n+1）+1]²．
∴結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：此題考查式的規(guī)律，注意每一個(gè)式子之間數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，每個(gè)式子之間的整體聯(lián)系，找出規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．