Question

（2003，岳陽市）我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg，乙種原料212kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共80件．生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg，乙種原料1.5kg，生產(chǎn)成本是120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg，乙種原料3.5kg，生產(chǎn)成本是200元．

  （1）該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有幾種生產(chǎn)方案，請你設(shè)計出來；

  （2）設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生產(chǎn)總成本是多少？

Answer 1

（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（80－x）件，依題意得

    解得34≤x≤36．

    因為x為整數(shù)，所以x只能取34或35或36．

    該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：

    方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

    方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

    方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件．

    （2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（80－x）件，y與x的關(guān)系為：y=120x+200（80－x），即y=－80x+16000（x=34，35，36）．

    因為y隨x的增大而減小，所以x取最大值時，y有最小值．

    當x=36時，y的最小值是

    y=－80×36+16000=13120．

即第三種方案總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120元．