Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，△AOB的面積是.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

     （4）在（2）中軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形．使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由題意得:

∴B（－2，0）                                  

       （2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2)，代入點(diǎn)A（1, ），得，

∴                           

 

（3）存在點(diǎn)C.過點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸x= - 1交x軸于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△AOC的周長(zhǎng)最小.

∵  △BCE∽△BAF,

                                              

（4）存在. 如圖，設(shè)p(x,y)，直線AB為y=kx+b,則

               ，

            ∴直線AB為，

 =  |OB||Y_P|+|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|

               =.

∵S_△AOD= S_△AOB-S_△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x₁=-  , x₂=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S_△BOD =x+,

∴ == .

∴x₁=- ,    x₂=-2.

P(-2,0)，不符合題意.

∴ 存在，點(diǎn)P坐標(biāo)是（-，-）.