Question

根據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…發(fā)現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，并且

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5和

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13
發(fā)現規(guī)律：勾為n（n≥3，且n為奇數）時有：股=

1

2

（n²-1），弦=

1

2

（n²+1）分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式？
（2）根據（1）的規(guī)律，用n（n為奇數，且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾，股，弦，合理猜想它們之間的兩種等量關系并對其中一種猜想加以證明？
（3）繼續(xù)觀察①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…可以發(fā)現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用類似上述的探索的方法，直接用m（m為偶數，且m≥4）的代數式來表示它們的股和弦．

Answer 1

（1）7，24，25的股的算式是：

1

2

(49-1)=

1

2

(72-1)，（2分）
弦的算式是：

1

2

(49+1)=

1

2

(72+1)；（1分）

（2）當n為奇數，且n≥3時，勾、股、弦的代數式分別是：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)，（2分）
猜想關系式1：弦-股=1；關系式2：勾²+股²=弦²，
例如關系式1證明：
弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=1，（2分）
或關系式2證明：
勾²+股²=n2+[

1

2

(n2-1)]2=

1

4

n4+

1

2

n2+

1

4

=

1

4

(n2+1)2=弦²，
∴猜想成立；

（3）當m為偶數，且m≥4時，
股、弦的代數式分別是：(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1．（2分）