Question

（2013•朝陽區(qū)一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：ME=MF；
（2）如圖2，點(diǎn)G是線段BC上一點(diǎn)，連接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的長(zhǎng)；
（3）如圖3，點(diǎn)G是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接GE、GF、GM，若△EGF是等邊三角形，則AB=

2

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)AM=DM，∠AME=∠FMD證出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；
（2）過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，則AB=GH，根據(jù)△GEF是等腰直角三角形，得出ME=FM，GM⊥EF，根據(jù)∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，得出∠MGE=∠MEG=45°，ME=MG，再根據(jù)∠AME+∠AEM=90°，得出∠AEM=∠GMH從而證出△AEM≌△HMG，得出GH=AM=2，求出AB=2；
（3）過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接MG，則∠GHM=∠A，根據(jù)△GEF是等邊三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，

EM

GM

=cot60°=

3

3

，∠AME+∠GMH=90°，根據(jù)∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，證出△AEM∽△HMG，

AM

HG

=

EM

GM

=

3

3

，得出HG=

3

AM=2

3

，最后根據(jù)AB=HG即可求出答案．

解答：解：（1）如圖1，
∵ABCD是矩形，
∴∠EAM=∠FDM=90°，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM，
∵在△AEM和△DFM中，

∠EAM=∠FDM AM=DM ∠AME=∠FMD

，
∴△AEM≌△DFM（ASA），
∴ME=FM．

（2）如圖2：
過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，則AB=GH，
∵△GEF是等腰直角三角形，ME=FM，
∴GM⊥EF，
∴∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，
∴∠MGE=∠MEG=45°，
∴ME=MG，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH，
∵在△AEM和△HMG中，

∠AEM=∠GMH ∠A=∠GHM ME=MG

，
∴△AEM≌△HMG（AAS），
∴GH=AM=2，
∴AB=2．

（3）如圖3：
過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接MG，則∠GHM=∠A，
∵△GEF是等邊三角形，EM=FM，
∴GM⊥EF，
∴

EM

GM

=cot60°=

3

3

，
∠AME+∠GMH=90°，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠GMH=∠AEM，
∴△AEM∽△HMG，
∴

AM

HG

=

EM

GM

=

3

3

，
∴HG=

3

AM=2

3

，
∴AB=HG=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)值的運(yùn)用，等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)．在解答時(shí)添加輔助線構(gòu)建全等形和相似形是關(guān)鍵．