Question

如圖1，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，點B落在邊AD上的B′處（不與A、D重合），MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P．
（1）直接寫出正方形紙片ABCD的周長；
（2）如圖2，過點N作NR⊥AB，垂足為R．連接BB′交MN于點Q．
①求證：△ABB′≌△RNM；
②設AB′=x，求出四邊形MNC′B′的面積S與x的函數(shù)關系式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質，邊長為1，周長即為4；
（2）①根據(jù)折疊的性質可知，∠A=∠MRN=90°，又因為∠ABB′=∠RNM，加之RN=AB=1，可知△ABB′≌△RNM；
②由①可知△MQB∽△B′AB，根據(jù)相似三角形的性質得到MB′和CN的表達式，即可根據(jù)梯形的面積公式的出S的表達式，利用二次函數(shù)求出S的最小值．
解答：解：（1）1+1+1+1=4．（3分）

（2）①則由折疊知，△MBQ與△MB′Q關于直線MN對稱，
∴MQ⊥BB′．（4分）
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，（5分）
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，（6分）
又RN=AB=1，（7分）
∴△RNM≌△ABB′．（8分）
②由①可知△MQB∽△B′AB，
∵，（9分）
∵AB′=x則BB′=BQ=，代入上式得：
MB′=BM=，（10分）
CN=BR=BM-MR=-x=，（11分）
∵MB′∥NC′，
∴四邊形MNC′B′是梯形，
∴S==，（12分）
由S==，
得當時，即B落在AD的中點處時，梯形面積最小，其最小值為．（13分）
點評：此題考查了翻折變換，要注意翻折不變性和正方形的性質等隱含條件．題目還涉及二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強．