Question

如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=2x-2，分別與x軸，y軸，交于A，B兩點，與反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象交于第一象限點P，PQ⊥x軸，垂足為Q，點M（m，n）在反比例函數y=

k

x

（x＞0）上，且MC⊥x軸．垂足為C，直線MC交直線AB于N．
（1）若三角形PAO的面積等于4倍△ABO的面積．求k的值；
（2）若以P，M，N Q為頂點的四邊形為平行四邊形，CQ=1，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據直線解析式求出點A、B的坐標，再根據三角形的面積的關系求出點P的縱坐標，然后代入直線解析式求出點P的橫坐標，從而得到點P的坐標，最后代入反比例函數解析式計算即可求出k的值；
（2）設點P的橫坐標為a，根據反比例函數解析式表示出PQ，再表示出點M、N的橫坐標，然后根據直線和反比例函數解析式表示出MN，再根據平行四邊形對邊相等列出方程，然后求出a和k即可．

解答：解：（1）令y=0，則2x-2=0，解得x=1，
令x=0，則y=-2，
所以，A（1，0），B（0，-2），
∵△PAO的面積等于4倍△ABO的面積，
∴點P的縱坐標是8，
代入直線AB的解析式得，2x-2=8，
解得x=5，
∴點P的坐標為（5，8），
把點P坐標代入反比例函數解析式得，

k

5

=8，
解得k=40；

（2）設點P的橫坐標為a，
∵直線AB與反比例函數解析式相交于點P，
∴

k

a

=2a-2，
∴k=2a（a-1）①，
∵CQ=1，
∴點M、N的橫坐標為a-1，
∴MN=

k

a-1

-[2（a-1）-2]=

k

a-1

-2a+4，
∵以P，M，N Q為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴MN=PQ，
∴

k

a-1

-2a+4=

k

a

②，
①代入②得，2a-2a+4=2（a-1），
解得a=3，
所以，k=2×3×（3-1）=12．

點評：本題是反比例函數綜合題，主要考查了三角形的面積，平行四邊形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，（1）判斷出點P的縱坐標的是解題的關鍵，（2）難點在于用點P的橫坐標表示出PQ的長和MN的長．