Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P為函數(shù)y=

1

4

x²在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點，點A的坐標(biāo)為（0，1），直線l過B（0，-1）且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別交x軸，l于C，Q，連接AQ交x軸于H，直線PH交y軸于R．
（1）求證：H點為線段AQ的中點；
（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；
（3）除P點外，直線PH與拋物線y=

1

4

x²有無其它公共點并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點的坐標(biāo)知OA=OB，O為A，B的中點，利用三角形中位線定理可得（1）結(jié)論；
（2）要證四邊形為平行四邊形，由題找到兩對邊平行且相等，就可以了．在進一步證菱形，驗證平行四邊形相鄰邊相等就行了；
（3）判斷有無公共點，要聯(lián)立方程，看方程是否有解，若有解就存在．

解答：（1）證明：∵A（0，1），B（0，-1），
∴OA=OB．（1分）
又∵BQ∥x軸，
∴HA=HQ；（2分）

（2）證明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR∥PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．（3分）
∴AR=PQ，
又∵AR∥PQ，
∴四邊形APQR為平行四邊形．（4分）
②設(shè)P（m，

1

4

m²），
∵PQ∥y軸，則Q（m，-1），則PQ=1+

1

4

m²．
過P作PG⊥y軸，垂足為G．
在Rt△APG中，AP=

AG2+PG2

=

( 1 4 m2-1)2+m2

=

( 1 4 m2+1)2

=

1

4

m2+1=PQ，
∴平行四邊形APQR為菱形；（6分）

（3）解：設(shè)直線PR為y=kx+b，
由OH=CH，得H（

m

2

，0），P（m，

1

4

m²）．
代入得：

m 2 k+b=0 km+b= 1 4 m2

，
∴

k= m 2 b=- 1 4 m2

．
∴直線PR為y=

m

2

x-

1

4

m2．（7分）
設(shè)直線PR與拋物線的公共點為（x，

1

4

x²），代入直線PR關(guān)系式得：

1

4

x²-

m

2

x+

1

4

m²=0，

1

4

（x-m）²=0，
解得x=m．得公共點為（m，

1

4

m²）．
所以直線PH與拋物線y=

1

4

x²只有一個公共點P．（8分）

點評：此題考查函數(shù)性質(zhì)及三角形中位線定理，判斷平行四邊形及菱形的判斷定理，最后把求公共點的問題，轉(zhuǎn)化為判斷方程有無解的問題．