Question

如圖①，已知兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形（菱形ABCD與菱形EFGH的位似比為21），∠BAD＝120°，對角線均在坐標(biāo)軸上，拋物線經(jīng)過AD的中點M．

⑴填空：Ａ點坐標(biāo)為          ，D點坐標(biāo)為          ；

⑵操作：如圖②，固定菱形ABCD，將菱形EFGH繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)度角，并延長OE交AD于P，延長OH交CD于Q．

探究1：在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在某一角度，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出的值；若不存在，說明理由；

探究2：設(shè)AP＝，四邊形OPDQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍．

 

Answer 1

（1）A（0，2），D(，0)

（2）探究1：當(dāng)α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形 

理由如下：

∵兩菱形的位似比為21，OA＝2，OD＝，菱形ABCD邊長為4,∠BAO=60°

∴菱形EFGH的邊長EF＝AD＝2，∠FEO＝60°

∵在旋轉(zhuǎn)過程中EF的長和∠FEO的大小始終不變

∴當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過M點時，P與M重合，AM＝AP＝2

△AOP為等邊三角形，∠APO＝∠AOP＝60°

那么，∠APO＝∠FEO＝60°，則EF∥AP

又∵EF＝AM＝2

∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α＝∠AOP＝60°時，EF平行且等于AP

∴α＝60°時，四邊形AFEP為平行四邊形.

探究2：過P點作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ＝y(tǒng)，則：

PR＝AP?sin60°=,OR=OA-AR=2-AP?cos60°=2-x，

OT=OD-DT=-TQ?tan60°=-

∵它繞對稱中心O旋轉(zhuǎn)時∠POR＝∠QOT

∴Rt△POR∽Rt△QOT

∴    ∴,

化簡得：

∴S===

即S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=  (0<x<4)