Question

設a，b，c為三個互不相等的實數(shù)，且c≠1．已知關于x的方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一個公共根，方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0有一個公共根．試求：a+b+c的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,一元二次方程的解

專題：

分析：設x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，得x₁=

c-1

a-b

，同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），再根據(jù)韋達定理即可求解．

解答：解：設x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，兩式相減，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），
∵x₂=

1

x1

，
∴

1

x1

是第一個方程的根，
∵x₁與

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的兩根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此兩式相減有（a-1）（x₂-1）=0，
當a=1時，這兩個方程無實根，
故x₂=1，從而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
∴a+b+c=-3．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及二元一次方程的解，屬于基礎題，關鍵是根據(jù)韋達定理解題．