Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=15cm，點(diǎn)D以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)以1cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D、E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以DE為邊在BC的上方作等邊三角形DEF．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在AB上？
（2）設(shè)△DEF與△ABC重合部分的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)題意求得 BD=2t，CE=t．然后分當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)兩種情況求得t值即可；
（2）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤3時(shí)和當(dāng)3＜t≤，且t≠5時(shí)兩種情況列出有關(guān)S于t的函數(shù)關(guān)系式即可求解．
解答：解：（1）由題意得 BD=2t，CE=t．
①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)（如圖1），
∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°．
∴∠DFB=∠EDF-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DF=DB=2t．…（2分）
∵BC=CE+ED+DB  即 t+2t+2t=15，
∴t=3．…（3分）
②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)（如圖2），
由①得，DE=EF=EB=CB-CE=15-t，BD=2t，
∴DB=2BE，即2t=2（15-t），
∴t=．
綜上，當(dāng)t=3s或s時(shí)，點(diǎn)F恰好在AB上．…（5分）
（2）①當(dāng)0≤t≤3時(shí)（如圖3），
由（1）得，DE=EF=FD=15-3t=3（5-t），DH=DB=2t，
∴FH=15-3t-2t=15-5t=5（3-t）．…（6分）
∵∠DEF=∠EFD=60°，∠B=30°，
∴∠EGB=180°-∠GEB-∠B=180°-60°-30°=90°．
在Rt△FGH中，
GH=FH•sin60°=，F(xiàn)G=FH•cos60°=．
∴．…（7分）
作FM⊥DE，垂足為M．則FM=EF•sin60°=.，…（8分）
∴S=S_△FED-S_△FGH=．…（9分）
②由題意知，點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所用時(shí)間為．當(dāng)t+2t=15，即t=5時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合．由（1）知，當(dāng)3＜t≤，且t≠5時(shí)，無(wú)論點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)還是右側(cè)，△DEF都在△ABC內(nèi)（如圖4）.=．
綜上，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的幾何圖形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知識(shí)解決問(wèn)題．