Question

（2012•道里區(qū)三模）如圖，點P為正方形ABCD邊CD上一點，點E在AP的延長線上，DE=DA，∠EDP的平分線交EP于點F，過點A作FD的垂線交FD的延長線于點G．
（1）求證：EF=

2

DG；
（2）連接BD交AP于點H，BH：HD=4：3，連接CE，若△CDE的面積為7，求DG長．

Answer 1

分析：（1）首先證明△AGD≌△DIE，進(jìn)而得出GD=IE，再利用正方形的性質(zhì)得出∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，即可得出答案；
（2）首先證明△ABH∽△PDH得出

DP

AB

=

DH

HB

=

3

4

，進(jìn)而得出△ADP∽△ENP，利用

NE

AD

=

EP

AP

，得出NE=

28

25

x，由△CDE的面積為7，求出x，即可得出DG的長．

解答：（1）證明：如圖1，
過點E作EI⊥GF于點I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分線交EP于點F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中

∠G=∠DIE=90° ∠PDF=∠IDE AD=DE

，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=

2

IE，
∴EF=

2

DG；

（2）解：如圖2，過點D作DM⊥AP于M，過點E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴

DP

AB

=

DH

HB

=

3

4

，
設(shè)DP=3x，則AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=5x，
∵S_△ADP=

AD•DP

2

=

AP×DM

2

，
∴DM=

12

5

x，
∴在Rt△DMP中，MP=

9

5

x，
∵tan∠DAP=

3

4

，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=

16

5

x，
∴EF=

16

5

x-

12

5

x=

4

5

x，PE=

16

5

x-

9

5

x=

7

5

x，
∵∠ADP=∠ENP=90°，∠APD=∠EPN，
∴△ADP∽△ENP，
∴

NE

AD

=

EP

AP

，
∴NE=

28

25

x，
∵△CDE的面積為7，
∴

CD•EN

2

=7，
∴

4x× 28 25 x

2

=7，
∴x=

5 2

4

，
∴EF=

2

，
∵EF=

2

DG，
∴DG=1．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確利用數(shù)形結(jié)合得出△ADP∽△ENP進(jìn)而表示出NE的長是解題關(guān)鍵．