Question

（2012•上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；
（3）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OD⊥BC可得出BD=

1

2

BC=

1

2

，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；
（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)D和E是中點(diǎn)可得出DE=

2

；
（3）由BD=x，可知OD=

4-x2

，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=

4-x2

2

，EF=

2

2

x即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

，
∴OD=

OB2-BD2

=

15

2

；


（2）如圖（2），存在，DE是不變的．
連接AB，則AB=

OB2+OA2

=2

2

，
∵D和E分別是線段BC和AC的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

AB=

2

；

（3）如圖（3），連接OC，
∵BD=x，
∴OD=

4-x2

，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
過D作DF⊥OE．
∴DF=

4-x2

2

=

8-2x2

2

，由（2）已知DE=

2

，
∴在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

2 x

2

，
∴OE=OF+EF=

8-2x2

2

+

2 x

2

=

8-2x2 + 2 x

2

∴y=

1

2

DF•OE=

1

2

•

8-2x2

2

•

8-2x2 + 2 x

2

=

4-x2+x 4-x2

4

，（0＜x＜

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．