Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)、F是CD上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、EF、AC．

（1）求證：AO•OF=OC•OE；

（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD交AE于點(diǎn)G，求證：四邊形EFDG是菱形．

 

 

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四邊形AECD是平行四邊形，即可得AE∥CD，繼而證得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；

（2）易得EF是△BCD的中位線，則可判定四邊形EFDG是平行四邊形，又由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得DG=EG，繼而證得四邊形EFDG是菱形．

試題解析：（1）∵BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴AD=EC=BC，

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∴AE∥CD，

∴△AOE∽△COF，

∴OA：OC=OE：OF，

∴AO•OF=OC•OE；

（2）∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，

∴EF是△BCD的中位線，

∴EF∥BD，

∵AE∥CD，

∴四邊形EFDG是平行四邊形，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△EBG，

∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，

∵AD=BE=BC，

∴AG=EG，DG=BG，

∵∠ABC=90°，

∴BG=GE=AE，

∴EG=DG，

∴四邊形EFDG是菱形．

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.菱形的判定；3.梯形．