如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸,y軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點,點C為線段AB上的一動點,過點C作CD⊥x軸于點D.
(1)求直線AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=,求點C的坐標(biāo);
(3)在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得以P,O,B為頂點的三角形與△OBA相似.若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)直線AB解析式為:y=x+. (2)方法一:設(shè)點C坐標(biāo)為(x,x+),那么OD=x,CD=x+. ∴==. 由題意:=,解得(舍去) ∴C(2,) 方法二:∵,=, ∴. 由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD. ∴=CD×AD==.可得CD=. ∴AD=1,OD=2.∴C(2,). (3)當(dāng)∠OBP=Rt∠時,如圖 ①若△BOP∽△OBA,則∠BPO=∠BAO=30°,BP=OB=3, ∴(3,). ②若△BPO∽△OBA,則∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=1. ∴(1,). 當(dāng)∠OPB=Rt∠時 、圻^點O作OP⊥BA于點P(如圖),此時△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 過點P作PM⊥OA于點M. 方法一:在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=. ∵在Rt△PMO中,∠OPM=30°, ∴OM=OP=;PM=OM=.∴(,). 方法二:設(shè)P(x,x+),得OM=x,PM=x+ 由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO. ∵tan∠POM===,tan∠ABO==. ∴x+=x,解得x=.此時,(,). 、苋簟鱌OB∽△OBA(如圖),則∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°. ∴PM=OM=. ∴(,)(由對稱性也可得到點的坐標(biāo)). 當(dāng)∠OPB=Rt∠時,點P在x軸上,不符合要求. 綜合得,符合條件的點有四個,分別是: (3,),(1,),(,),(,). |
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1 | x |
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3 |
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a+2 |
S△CAD |
S△DGH |
AD |
GH |
FC+2AE |
3AM |
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