Question

如圖所示，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為

1

2

的長(zhǎng)方形，接著再把面積為

1

2

的長(zhǎng)方形分成兩個(gè)面積為

1

4

的長(zhǎng)方形，再把面積為

1

4

的長(zhǎng)方形分成兩個(gè)面積為

1

8

的長(zhǎng)方形，如此進(jìn)行下去．
（1）第7次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積是多少？
（2）試?yán)�用圖形揭示的規(guī)律計(jì)算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到第1次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=（

1

2

）¹，第2次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=

1

4

=（

1

2

）²，第2次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=

1

8

=（

1

2

）³，則
第n次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=（

1

2

）ⁿ，然后把n=7代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)圖形揭示的規(guī)律，把一個(gè)面積為1的正方形分7次得到的面積為

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

+

1

128

，則

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

，然后通分計(jì)算即可．

解答：解：∵第1次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=（

1

2

）¹，
第2次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=

1

4

=（

1

2

）²，
第2次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=

1

8

=（

1

2

）³，
∴第7次等分所得的一個(gè)長(zhǎng)方形面積=（

1

2

）⁷=

1

128

；

（2）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

=

127

128

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．